Урахування геометричнї нелінійності при математичному моделюванні задач теорії пружності
Loading...
Date
2023
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Український державний університет науки і технологій, ІВК «Системні технології», Дніпро
Abstract
UKR: Рішення багатьох важливих для практики проблем, що виникають у сучасній техніці, не завжди можна отримати традиційними методами теорії аналітичних функцій або за допомогою інтегральних перетворень. Це стосується, наприклад, контактних задач, в яких враховуються кінцеві розміри області хоча б в одному напрямку, або досліджуються середовища з криволінійною анізотропією і т. д. Засоби математичної теорії пружності малоефективні для вивчення таких проблем. У цьому випадку доцільно використовувати досягнення теорії потенціалу. Одночасне використання асимптотичних методів навіть у складних випадках дозволяє отримати обґрунтовані наближені рівняння, з'ясувати якісні закономірності, отримати аналітичні розв'язки задач. У статті представлено узагальнення методу збурень, що дозволяє звести дослідження складних задач геометрично нелінійної теорії пружності (у площинній та просторовій постановці) до послідовного розв’язання більш простих крайових задач теорії потенціалу. Геометрично нелінійна теорія пружності містить деякі особливості, які відрізняють її від класичної (лінійної). Основна відмінність полягає у врахуванні різниці між геометрією недеформованого та деформованого станів досліджуваного тіла, коли відбуваються рухи, що викликають значні зміни геометрії тіла. При цьому рівняння рівноваги необхідно складати з урахуванням зміни форми і розмірів конструкцій. Врахування скінченних деформацій, що при створенні математичних моделей призводить до значних труднощів у вирішенні задач, але в той же час наближає модель до реальної задачі.
ENG: Solutions to many problems that are important for practice that arise in modern technology cannot always be obtained by traditional methods of the theory of analytical functions or by means of integral transformations. This applies, for example, to contact problems in which the finite dimensions of the region are taken into account in at least one direction, or media with curvilinear anisotropy are studied, etc. The means of the mathematical theory of elasticity are not very effective for the study of such problems. In this case, it is advisable to use the achievements of the potential theory. The use of asymptotic methods at the same time, even in complex cases, makes it possible to obtain well-founded approximate equations, clarify qualitative regularities, and obtain analytical solutions to problems. This paper presents a generalization of the perturbation method, which makes it possible to reduce the study of complex problems of geometrically nonlinear elasticity theory (in the plane and spatial formulation) to the consistent solution of simpler boundary value problems of the potential theory. The geometrically nonlinear theory of elasticity contains some features that make it different from the classical (linear) theory. The main difference is to take into account the difference between the geometry of the undeformed and deformed states of the body under study, when there are movements that cause significant changes in the geometry of the body. At the same time, the equilibrium equation must be drawn up taking into account changes in the shape and size of structures. Taking into account finite deformations, which when creating mathematical models leads to significant difficulties in solving problems, but at the same time brings the model closer to the real problem.
ENG: Solutions to many problems that are important for practice that arise in modern technology cannot always be obtained by traditional methods of the theory of analytical functions or by means of integral transformations. This applies, for example, to contact problems in which the finite dimensions of the region are taken into account in at least one direction, or media with curvilinear anisotropy are studied, etc. The means of the mathematical theory of elasticity are not very effective for the study of such problems. In this case, it is advisable to use the achievements of the potential theory. The use of asymptotic methods at the same time, even in complex cases, makes it possible to obtain well-founded approximate equations, clarify qualitative regularities, and obtain analytical solutions to problems. This paper presents a generalization of the perturbation method, which makes it possible to reduce the study of complex problems of geometrically nonlinear elasticity theory (in the plane and spatial formulation) to the consistent solution of simpler boundary value problems of the potential theory. The geometrically nonlinear theory of elasticity contains some features that make it different from the classical (linear) theory. The main difference is to take into account the difference between the geometry of the undeformed and deformed states of the body under study, when there are movements that cause significant changes in the geometry of the body. At the same time, the equilibrium equation must be drawn up taking into account changes in the shape and size of structures. Taking into account finite deformations, which when creating mathematical models leads to significant difficulties in solving problems, but at the same time brings the model closer to the real problem.
Description
О. Білова: ORCID: 0000-0001-6258-6164
Keywords
асимптотичний метод, анізотропія, геометрична нелінійність, asymptotic method, anisotropy, geometric nonlinearity, КЕкІ
Citation
Білова О. В. Урахування геометричнї нелінійності при математичному моделюванні задач теорії пружності. Інформаційні технології в металургії та машинобудуванні – ІТММ’2023 : тези доп. Міжнародної наук.-техн. конф. (м. Дніпро, 22 березня 2023 р.). Дніпро, 2023. C. 112–115. DOI: https://doi.org/10.34185/1991-7848.itmm.2023.01.028.